大学受験

 

 

 

 

 


解答

二項係数に関する問題はよく見られますね。
今回はその二乗和を求める問題です。

ただし、今回はその答えはすでに出ていてそれを証明する形です。
このような場合、図形的解釈で証明をすることが可能です。

つまり、2nCnが答えとなるなんらかの場合の数の問題の答えを、
証明する式の左辺でも表すことができればよいというわけです。

答えが2nCnになる問題を適当に考えてみましょう。

問.2n個のボールからn個のボールを選ぶ組み合わせの数を求めよ。

当然この問題の答えは2nCnです。これを違ったアプローチで求めることで、二乗和で
表せないか考えてみましょう。

二乗和の中の二項係数は全てnCaなので、n個の中から選ぶ、とならなければなりません。

と考えると
2n個からn個を選ぶ→あるn個からa個を選び、残りn個から(n-a)個を選ぶ

と言い換えることができます。

これを式に直すと、

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このようになります。
最初の式と見比べてみると、
nCk→nC(n-k) に変わっただけであることが分かります。

二項係数の基本的な性質としてnCk=nC(n-k)であるので、(簡単な計算で示せます)
この式は求める式の左辺と等しく、よって等式が成り立ちます。

他にも、n×nの格子状の道の最短経路を考える問題でも示すことができます
ぜひ考えてみてください。

このように、一つの問題を、答えが同じになる別の問題を考えるというアプローチは有効なことがとても多いです。
入学試験などでは、別の問題が誘導という形で現れることも多いです。ぜひこの考え方に
慣れておきましょう!