赤い球6個、青い球3個、黄色い球3個を一列に並べる。
隣り合うどの二つの玉も異なるようにするとき並べ方は何通りか。
(数学オリンピック2009)


解答
数オリの順列の問題です。
みてわかる通り、隣り合う玉の色を異なるようにするというところがネックですね。

順列などの組み合わせの問題は大きく分けて二通りの求め方があります。
①正当に場合分けなどをして数える。
②全体から余事象を引く。

余事象というのは求める事象ではないもの、この場合なら同じ色が隣り合ってる箇所が
最低1つ以上ある事象、ということになります。

少し考えてみるとその余事象を求めるのはたやすくないことがわかります。
なので正当に場合分けをしましょう。

赤は6、青黄は3と赤だけ独立していることに注目してみましょう。

12個の中に赤6が隣り合わないように並べる方法を考えてみると、

赤〇赤〇赤〇赤〇赤〇赤 に〇を一つ加えたもののみであるとわかります。
(〇は青か黄色のどちらか)

ここからは丁寧に場合分けをするのみです。
〇が列の端であった場合、青黄は隣り合うことはないので
どちらの端におくかの二通りと、〇6から青3を置く組み合わせをかけあわせることで

2×6C3=40

〇が列の中にあったとき、〇通しが隣り合う場所が一か所できます。
その一か所には青黄若しくは黄青と入れるしかないので2通り、
中への入れ方は5通りあり、
残り4つの〇から青2つを入れることを考えると、

5×2×4C2=60

先ほどのと足し合わせ40+60=100(通り)と分かります。

今回のポイントは赤に注目することでした。
一見発想力が必要そうに見えますが、ここで記したように落ち着いて方針を決めた後、
特異なものに注目すればおのずと導けると思います。