実数αに対し、関数f(x)を
大学受験問題 

α>1の時、f(x)は実数の範囲で微分可能であることを示せ。

 

 


解答
一種の典型問題です。
微分可能であるかや、連続であるかは時々聞かれる問題ですね。
このような問題は連続や微分可能性の「定義に基づいて」考えるのが必須です。

では、微分可能の定義に遡ってみましょう。

f(x)が区間Iで微分可能であるとは、I内の任意の実数aについて
大学受験問題

 

 

 

が存在することをいう。

ここで問題に戻ると、
x>0のもしくはx<0時、f(x)は連続かつ微分可能なので、x=0の時を見ればよい

微分可能かを調べるということは、上の定義のそえるかを調べることに等しい

大学受験問題

 

 





極限値が存在⇔右極限と左極限が一致
なので、h→+0の時と、h→-0の時の値が一致する必要がある。

h→-0の時、極限は0になるので、h→+0の時の極限が0になることが分かればよい。

大学受験問題

 




 
このように、実際に式に当てはめてしまえばあとは機械的な計算で済ませることが
出来ますね。

証明問題の解答としては当たり前ですが証明すべきことを満たしていることを
示せばいいので、このように定義に戻るという方法が効くのです。