問題

AB=2 BC=2 CD=2√3 DA=2√5 の凸四角形ABCDがある。
ACの中点とBDの中点を結んだ線分の長さは√2である。
この時ABCDの面積を求めよ。

(JJMO2008より)

 


 

解答

数学オリンピックの難問です。実はこの問題、特別な数学の知識がなくことができる問題
ですが、それでも超難問です。
補助線を上手く引ければ簡単な問題になり下がりますが、その補助線は並大抵では思い
つきません。

とりあえず、図形を見てみましょう

JJMO 2008年の問題

この問題で提示されているのは四辺の長さに加え、対角線の中点と中点を結んだ線
の長さです。
この長さを使えなければ答えを求めるのは不可能でしょう。

この中点を利用する方法は中点連結定理,中線定理など、色々思い当たるものがあり
ますが、数オリの問題なだけあって単純にこれらを使うだけでは答えは求まりません。

しかし、中点があるときに使うのはほぼほぼこれらの定理で間違いありません
それでも現状この中点を含む線分を用いてもよい結果は出ません。

ということはつまり、新しい線分を引くということです。
線分を引くということは点と点を結ぶわけで、つまりこれらの中点どちらかと四角形の四点どれかを結ぶということです。

ここで四点に注目すると、挟む二辺の長さが等しい点Bだけが特別だということにきづき
ます。(これは図を書くときにもおそらく意識すると思います)

なのでどちらかの中点とBを結ぶことを考えます。しかし、片方の中点はすでに結んで
あるので、もう片方におのずと決まります。

結んだ図がこれです。

JJMO 2008年の問題

しかし中点連結定理を使うには新しく引いた線の上の点が中点になっている必要があり
ます。
これを加味してもう一度線を引くと、その線はABCを三点とする平行四辺形の対角線に
なっていることが分かります。(下図)

JJMO 2008年

すると、やっと中点連結定理の出番が出てき、ED=2√2が分かります。
すると三角形ECD、AEDの三辺が分かるので、それらの面積を求めることができます。
また三平方の定理より∠DEC=90°がわかり、
DEAは135度が分かる(垂線おろして長さを比較するとわかる)

よって∠ABCも135度なので三角形、三角形、ひし形に分けて計算ができる。

答えは 2+4√2(計算略)

と、計算部分は大分略しましたが、実際には高校数学になると余弦定理というものを用い、後半の計算が格段に楽になるからです。

なので、この問題で一番大事なのは左下に平行四辺形を作るまでの過程です。

確かに発想としてはなかなかに異質で奇抜ですが、上に書いてある道筋の中では
それほど特別な発想はしていません。

やはり、どんな難しい問題でも変わらずに普段と同じような解き方を落ち着いてすることが 大切です。基本は大事!

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