熊本県高校の問題

 

 

 

解答


熊本県の入試問題です。

(1) は基礎的な問題ですが、(2)はそこそこむずかしいです。

(1)はとても簡単なので少し省略気味で行きます。
まず、AD=BD 接弦定理より、∠EAD=∠CBD  ∠EDA=90-∠ADC=∠CDB
よって△ADE≡△BDC

続いて(2)です。
(1)で求めた合同を用いるとEAやADの長さはわかります。
AGを求めたいのでAGを含む三角形、EAGに着目してみましょう。

この三角形は∠AEG=∠ODC、EA=5-2=3、∠EAG=45°という特徴を持っています。
ここで、EAGを直角三角形から一部を切り取った形とします。
熊本県高校の問題

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

△EAH∽△DOCより
AH=3×(2/5)=6/5
 
AGを、AGを含む線の割合で示すために砂時計型の
相似を作ります

△IEAは直角二等辺三角形なので、
EI:AH=5:2
=IG:GAであり、
IA=3√2なので

AG=6√2/7

(2)は単体であれば難しい問題ですが、(1)の誘導があるため、そこまで難しくは
ないと思います。
後半はわりとどのように出してもただの計算で答えが出るので(座標とかに当てはめても)
大事なのは相似な図形に気づくか、ということでした。