灘高校の問題

解答

(灘高校H28) の問題です。

このように数の上〇桁~といった部分に操作を加える場合
例えば4桁の整数abcdを
1000a+100b+10c+dというように表現すると上手く行く場合が多いです。

しかし、今回の場合、上下ともに二桁のみなので
100a+bというように表現しましょう。

問題文の言ってる条件をこの表現で表してみましょう。
四桁の自然数P=100a+b(a,bは100未満の自然数)
が a^2+40b=P を満たすようなP を求める。

となります。

つまり a^2+40b=100a+bです。
両辺ともにabが出ているので、同じ記号で固めましょう。
39b=(100-a)a となります。

このような条件を満たすa,bを探せばよいのですね。

a,bは共に自然数で、39=3×13なので
100-a,aの少なくとも片方が13を素因数に持つ必要があります。

ここで場合分けをしましょう。
①aが13の倍数
a=13 →b=29 P=1329
a=26 →b=148/3 ×
a=39 →b=61 P=3961
a=52 →b=64 P=5264
a=65 →b=175/3 ×
a=78 →b=44 P=7844
a=91 →b=21 P=9121

②(100-a)が13の倍数
上と同様にすると P=8729、6161、4864、2244

よって答えは1329,2244,3961,4864,5264,6161,7844,8729,9121

ものすごい量になりましたね。
今回は四桁の自然数の表現を少し変えただけで大分わかりやすくなり、そこから虱つぶしでやることで答えが導けました。

しかし、時間がないテストではこの数式での考察から、答えを実際に探し出す段階へ移行するタイミングを図るのは簡単ではないです。

こればかりは鉄則などもほとんどないので、多くの問題をこなし勘を養う他ないでしょう。