aを自然数、bを素数とするとき、a2乗-16=3bを満たすa、bの値の組をすべて求めなさい
(大阪府H19)


解答

公立高校で頻繁にでる素数に関する問題です。

素数というのはとても因数分解と相性がいいです
なぜなら因数分解できる式の答えが素数→片方が1というように大分限定できるからです。
また、x^2-y^2=(x+y)(x-y)という因数分解も超頻出です。

とりあえず未知数(aとかxとかの具体的な値が分かっていない数)が出てきたらまず因数分解を考えましょう。

今回の場合a^2-16=(a+4)(a-4)=3bと因数分解できます。
今回の問題は問題文がとても短いため、道筋が見えやすいです。
因数分解してしまったら、ここから先は式では考えにくそうです。

つまりはbは素数であるという条件をここで使うわけです。
bが素数ということは、3bを〇×〇という形に直す時に考えられるのが

3×b,1×3b の二つということです。

3×bの時はa+4=3にはなりえないので
(a,b)=(7,11)

1×3bの時は同様にして
(a,b)=(5,3)

以上の二組です。

今回は2ステップで解きました。
①因数分解
②3bを掛け算の形に
といった具合です。

①はこのような問題の基本中の基本なのでできるようにしてほしいです。

②は等式を右から見る、という操作を加えています。
このような等式の問題は常に左から見てしまいがちです。
しかし、別の視点、つまりは右から左に見ることで道筋ができることがあるのです。

(bは素数)
3b=(a+4)(a-4)
と考えれば幾分かわかりやすいでしょう?