0,1,2 の3つの数字のみを使って数を作り、次のように小さい方から順に並べます。
1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,・・・
また、記号 <+> は、
(m番目の数)<+>(n番目の数)=(m+n番目の数)
の計算を表すこととします。
たとえば、4番目の数は11、5番目の数は12、9番目の数は100 なので、
11<+>12=100 となります。
このとき、次の計算をしなさい。
 ( 2012 <+> 2102 ) <+> 2002
(海城中2013)


解答

N進数の問題ですね。
受験算数でそこそこの目撃率のあるN進数ですが、難問は作りづらいために
ほとんどない一方、解き方を知らないと手も出しづらいような問題も多いです。

ここでとりあえず、私のN進数のイメージを教えます。
例えば、3進数なら、
銅のメダル(1の位)3枚で銀のメダル(10の位)1枚と交換できる
といったイメージです。
このイメージであれば10進数からN進数に直す時だけでなく、
N進数同士の足し算なども上手く行きます。

今回は3進数です。
これから210(3)は210は三進数で表した数、
という意味で書いていきます。

三進数の足し算の計算方法として書かれている一度十進数に直して
足してからもう一度三進数に直すという方法を、
全てを一の位のメダルに戻して数を合計してから他のメダルと変えている、
と計算方法を解釈すれば途中でメダルを変えていても
最終的な結果には影響がありません。

よって、同じ桁は同じ桁同士で足し合わせられます
つまり数字の数や順番に影響されないので
カッコを無視して一気に三つを足し合わせられます。

ゆえに
(2012 <+> 2102)<+> 2002
=2012<+>2102<+>2002
=6116(3)=6000+100+10+6 (3)
=20000+100+10+20 (3)=20000+100+30 (3)=20000+100+100=20200 (3)

答え 20200