問題

正の整数a,b,cが次の4つの条件をみたすとする:
・a,b,cの最大公約数は1である。
・a,b+cの最大公約数は1より大きい。
・b,a+cの最大公約数は1より大きい。
・c,a+bの最大公約数は1より大きい。
このとき、a+b+cのとりうる最小の値を求めよ。


解答と解説

最大公約数に関する問題です。
また、たまに見る「a+b+c」の最小を求めよ、という問題です。

こういう場合はa,b,cのそれぞれは出ない場合が多いです。
逆に考えれば問題が「a,b,cそれぞれは出ないけど、a+b+cならでるぞ~」と言ってくれているようなものなので、しっかりとあやかって和を考えてみましょう。

まず、a,b+cの最大公約数は1より大きい、つまり

p≠1 でpn=a pm=b+c

ということです。

これだけでは特にわかりませんが、ここでa+b+cを考えてみましょう。

a+b+c=p(n+m)  となります。

これはつまり、a+b+cもpの倍数だということです。

これは残りの2つにも使えます。
それぞれの最大公約数をp,q,rとおくと

a+b+c=pqr×n

ということになります。
今回はa+b+cをなるべく小さくしたいのでpqrnも小さくしたいですね
nは1でも大丈夫そうなので(p,q,r)=(2,3,4)で試してみましょう。

a+b+c=2×3×4=24
aはp(2)の倍数、cはq(4)の倍数なので、bも2の倍数になってしまいます。
すると、三つの数の最小公倍数が1ではなくなってしまうので条件を満たしません。

次は(p,q,r)=(2,3,5) で試してみましょう。

この場合は(a,b,c)=(2,3,25)で上手く行きます。

よって最小のa+b+cの値は30.

まとめ
○○の最小を求めよ~といった問題では○○の形(式)に重点を置いて考える
・最後は試す