問題

灘中学問題


解答と解説

今回の問題は灘中の角度の問題です。
中学入試の角度の問題は難問が多いですが、今回はその中でも特殊です。

そう、見ればわかる通り、すでに示されている角度がありません。

実際は45度や90度はわかるのですが、今回は二つの正方形を重ねているので、
その重ね方のずれている角度の大きさ(∠GDC=∠ADE…)がわからないと
解けないですね。

その角度が45や90ではないことはなんとなくわかります。

では一体どうすれば角度が求められるのでしょう…

こういう時に算数で出てくるのは99.9%二等辺三角形、90%正三角形です。

もう一度図を見てみましょう、しかし今のままでは正三角形を見つけることは難しいと
思います。

そういう時は図形の特徴的なところに着目してみましょう。

今回の場合、ACという対角線上に、もう一つの正方形の一点Fがあるのがポイントですね
ということは、この直線を基にすることでこの問題が解けそうです。

対角線、が中心→残り二つの正方形の対角線も引いてみよう。

といった論理が展開できます。

灘中学問題

対角線と対角線は直角に交わり、交点は線を半分ずつに分けるので、
DI=IB,∠DIA=90°

また、この図形を、ABCDを回転DEFGに重なるようにDを中心に回転させたもの、
ととらえてみましょう。

そうすると、先程のズレの大きさ=回転角ということになります。

また、DBはDFに重なるので、∠BDFも回転角です。

∠BDFが分かれば解けそうですね。

∠BDFを含む三角形は
△DIFのみです
DIFについてわかることは、DI:DF=1:2、∠DIF=90°です。
なにかに気づきませんか…?

そうです。あの有名な正三角形の半分(三角定規)です。

これに気づけばこの問題は終了です。
∠DHF=90°+∠HFE=90+(45-30)=105°

ポイント
正三角形を探す
・図形のポイントを探し、そこから結び付けて考える。
・分かったら嬉しい角度から逆に考える