下の図で、曲線は関数 y = ax2 のグラフであり、
曲線上に、 x 座標がそれぞれ -5, 5 の点 A, B をとります。
点A を通り傾きがこの曲線の式の係数と同じ a である直線と、この曲線との交点を D とします。
点B から直線 AD へ垂線をひいたときの交点を C としたとき、
点C の x 座標は正であり、△ ABC の面積が 20 cm2 となりました。
このとき、次の各問に答えなさい。ただし、a > 0 とし、座標軸の単位の長さを 1 cm とします。

埼玉県高校入試問題

(1) a の値を求めなさい。
(2) 線分 CD の長さを求めなさい。 ( 平成24年 埼玉県 数学)


解答

何と正答率0.4%だったという、いわくつきの問題です。

二次関数に関する問題ですね。
結構シンプルな問題のようにも見えますが、落ち着いて解いていきましょう。

今のところ、示されている具体的な大きさはA,Bのx座標と三角形の面積
だけなので、ここから具体的な数値をわりだしていきましょう。

ABの長さが10,面積が20なので高さが4であることはすぐにわかりますね。

その高さは図にすでに示されている場所には当てはまらないので、書き込んでみましょう。

埼玉県高校入試問題

また、唯一二次関数のグラフに乗っている点A,Bの高さに関する条件がまったく記されて
いないことから

ACの傾きa=二次関数の係数a という条件は、

二次関数→傾き という求め方はできず、
傾き→二次関数という求め方に限定されるということです。
(つまり、傾きを二次関数の係数からは求められないということ)

しかし、これ以上の条件はないので、現時点で判明していることを用いて解く必要が
あります。

ここで、よく見かけるACB∽AEC∽CEB という条件を使いましょう。
(相似である理由は一角が共通していて、もう一角が直角だから)

AE:CE=CE:EB ⇒ CE^2=AE・EB=16

AE+EB=10, AE・EB=16 AE・(10-AE)=-AE^2+10AE=16
AE^2-10AE+16=0
(AE-8)(AE-2)=0
AE=2,8
Cのx座標は正なので、AE=8

よって傾きa=4/8=1/2 a=1/2

CDの長さを求める問題です。
しかし、Dの条件は全く判明していません。
なので、方針としてはDの座標を求めましょう。
Cの座標はわかっているので、Dさえわかれば三平方で求まりそうです。

傾きも出ているので、ADの直線の式と、二次関数の式から、交点Dを求められそう
です。

Aのy座標は5^2/4=25/4
傾きは1/2なので、
AD=25/2+(x+5)/2=15+x/2

y=15+x・2 と  二次関数  y=x^2/2 の交点は

x^2/2-x/2-15=x^2-x-30=0 となるxです。

x=-5が交点になることはわかっているので、この式は(x+5)で割れます。

x^2-x-30=(x+5)(x-6)=0
x=-5,6 15+6/2=18
D=(6,18)

Cの位置はAからx側に8,y側に4なので
C=(3,33/2)
 
点と点の距離の公式から、CD^2=(6-3)^2+(18-33/2)^2=45/4

CD=3√5/2

まとめ
具体的な大きさが出されているところをもとに、計算してみる
使っていない情報、どのどの情報はどのように使えるかを考える