算数オリンピック問題

長方形ABCDで、
(か)、(き)、(く)、(け)の部分の面積について次のことがわかっています。
(か)+(き)=162c㎡
(き)+(く)=208c㎡
(く)+(け)=126c㎡
アとウの差が4cmのとき、イとエの差は何cmですか。


解答

今回は算数オリンピックの問題です。

この問題では前提として台形の面積が与えられていますね。
台形の面積は((上底)+(下底))×(高さ)÷2で求められます。

高さが共通ならば、この上底+下底の比で比べられそうですね。

(○)+(□)のままでは場所が分かりにくいので整理してみましょう。

算数オリンピック問題

こうして整理してみると長方形の面積が求められるのが一目瞭然ですね。
162+126=288(cm2)…長方形の面積

これにより、?の面積も求まります。
288-208=80(cm2)…?の台形の面積

この時点でまだ使ってない情報を整理してみましょう。
162と126の和は使いましたが、その具体的な比はまだ使っていません。
また、アとウの差が4cmだということも使っていません。

とりあえず4cmを使ってわかることを考えてみましょう。

ウ=ア+4かア-4 ということです。 まず、+か-かもわからないことにはどうしようもありません

これは台形の面積から考えるしかなさそうです。
二つの台形は高さが共通なので上底+下底の比が面積の比になります。

両方とも片側しかでてないので、両側を出そうとしてみましょう。

算数オリンピック問題

長方形の縦の長さを○とすると、
ア+オ = ア+○-ウ = +4か-4 +○
カ+ウ = ○-ア+ウ = -4か+4 +○

下の台形の方が大きいので、
ア+オ<カ+ウ 
よって、ア+オ=○-4  カ+ウ=○+4 になります。

また、ア+オ:カ+ウ=80:208=5:13 より

○-4:○+4 = 5:13  これを図にすると

算数オリンピック問題

このようになり、⑧=8cm、○=9cmであることがわかります。

長方形の縦がわかったので横を出して見ましょう
288÷9=32…長方形の横

ここからは先ほどと同様に考えてみましょう。

算数オリンピック問題

キ+イ+エ+ク=32+32=64(cm) …①
キ+イ:エ+ク=162:126=9:7

ク-キ=エ-イ より、

キ+イ:エ+ク:エ-イ=9:7:1 …②

①と②より、エ-イ=64÷(9+7)×1=4(cm)

実はこの問題、幅4cmの平行四辺形を考えることでもっと簡単に解けるのですが、
この解き方ならより平凡なので、そこまで時間がかかるわけではありません。時には地道な方法でやるのもよいでしょう。

まとめ
条件が分かりづらい場合は別の図に整理する
使っていない条件を把握する