オリジナル高校入試問題

三角形ABCとAB上、AC上にとった点D,Eについて

∠ACD=∠BCD ∠ABE=∠CBE
∠ACD>∠ABE が成り立っている。

この時、CD<BEであることを証明せよ。


解答と解説

まず、条件を満たす図をいくつか書いて大体概要をつかもう
今回の問題は与えられた条件の限定具合があまり厳しくないため、いまいち概要が
つかみにくいと思う。

そういった時は、幅のある条件、今回の場合なら∠ACD>∠ABE を極端に
書いてみよう

するとBF<FCではあるが、DF>FE の時もあることに気が付くと思う。

ということは、点Fで区切ってそれぞれを求めるといったことができないので
CD,BE全体同士を比べるしかない。

辺の長さを比べる場合、一番やりやすいのは角度の大きさに着目することだ。

オリジナル高校入試問題

こういった三角形で∠C>∠Bの時、AB>ACである。
これを利用するのももっとも大きなパターンのうちの一つだ。

もう一つは相似比や面積比で比べるといったものである。

相似な図形で、ある一方の図形の方が相似比が大きかったなら、
その図形に含まれた線分も、相似比が大きい図形のものの方が長くなる

これらを利用できないか考えてみよう。

今回の問題の場合、CDとBEを比べるのだが、どちらの辺も含む三角形はないので
それらの辺を含む三角形二つで考えよう

△ABEと△ADC  というのと   △DBCと△EBC 
という二つの組み合わせの候補がある。

共通の角があるというのと共通の線分があるというもの、どちらも強い条件ではあるのだが、
今回探したいのは合同ではなく相似であるため、とりあえず角を使ってみよう。

しかし、元の条件と照らし合わせると当たり前だが相似ではない。

相似になりそうだが、相似ではない…しかし相似になってほしい、
そんな時は相似を作ってしまいましょう!

左下と右下の角が同じでないと相似にはなりえないので大きいほうである右下の
角を削りましょう。すると

オリジナル高校入試問題

このような図になります。

すると△GBHと△GDCが相似になりますね。
次は相似比を求める段階ですね。

これはすんなりでます。
∠EBC<DCB、∠GBH=∠GCDより
∠GBC<∠GCB

なのでGB>GC
△GBHと△GDCの相似より、
DC<BH HEの長さは正なので
DC<BH+HE  DC<BE   ゆえに示された。

どうでしょう、変な補助線を引く必要がある難問だったと思います。

今回の問題のポイントは、
・注目すべき場所を絞る。
相似が欲しいときは時には自分で作り出す

といったところです。