灘中学入試問題2009年灘中二日目第五問

 3辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形6つを図のように並べるとき、
次の各問いに答えよ。
(1)2点A、Bを直線で結ぶと、ABの長さは何cmか。
(2)2点C、Dを直線で結ぶと、CDの長さは何cmか。 


解答解説

図形の長さを求める問題です。
今回の問題は現在は引いてある状態にない線の長さを求める、というのが特徴です。

まあ、だからといって特別なことをする必要はありません。
普通の問題のように取り組んでみましょう。

まず、長さを求める問題の多くは
・面積から逆算
・相似形を利用

大きく分けてこの二つの手段を用いるでしょう。
今回は同じ図形がたくさんあるので相似が簡単に作れそうですね。

まずこの図形全体を見て気が付くことがあります。
それは「上下対照」であることです。

このような「対照」な図形というのは問題を解く上でのヒントになる上に、片方を求めて
それを二倍する、といったように計算も省略できるので綺麗な図形の問題の時は
もしかしたら対照かも…?と常に目を光らせておきましょう。

ABを求めたいのでABまたはABの一部(今回は上下対照なので上半分とかでも問題ない)
を含んだ三角形の相似を見つけたいですね。
しかし、現段階ではABを含む三角形は明らかに相似でなさそうなものしかありません。
なので、線を延長して三角形を作ってみましょう。

灘中学入試問題

まあこの三角形が一番相似になりそうですね。
では角度を書き込んでみましょう。
○+×=90°にして、○と×で角度を書き込んでいくといいと思います。

灘中学入試問題

するとこのようになります。
ここからは上半分のみで考えます。
△AFHと△GFHが合同であることが分かります 。
なのでAGは4+4=8(cm)

そして、△AFHと△AIGは相似です(∠Iが90°であることは上下対照であることから

よってAI=AG×3/5=4.8
AB=2AI=9.6(cm)

次は(2)です
今回も前回と同様に線を伸ばしてみましょう。

灘中学入試問題

伸ばす前に、伸ばしたらP,Qに当たるような気がすると思います。
実際に通るのかを確かめるためにRとP、SとQを結んでみましょう。

するとPRHが3,4,5の直角三角形になり、CRPが一直線になることが分かります。
そうすれば上下対照なのでDSQも同様です。

それを踏まえて引いてみましょう。

灘中学入試問題

するとCDQPがこのような台形になりますね。
台形のよくある問題で、赤線(RS)の長ささえわかれば
相似を利用してCDの長さを求めることができますね。

(1)でABの長さを求めていることを踏まえると、△AHB内の相似を用いて
RSの長さを求められそうですね。

AH:RH=5:3より RS:AB=3:5
RS=9.6×3/5=144/25

R,Sとも台形CDQPの中点なので、RSの長さはCDとPQの平均です。
よってCD=(144/25)×2-8=88/25
88/25cm

今回のまとめ
長さの問題は大体相似が使える
図を綺麗にかく、または書き込んでどの線を引けば相似を作れるかなどを見極めよう
中途半端な線は延長する