明治大付属明治高校入試問題 明治大付属明治高校 ( H28年 【1】 ) 


解答解説

平面座標の問題ですね。

この問題、条件がさほど複雑ではないので点P,Qをそれぞれ式で求め、面積を
求めて方程式を計算する、といったやり方でも解けないわけではありません。

しかし、複雑な計算は時間もかかる上、ミスの元です。
ここで別のアプローチを考えてみましょう

OPQの面積がkとなるとき、とのことなので、まずは比較対象になるような長さや面積を探しましょう

すると、kを含む式がy=k-xのみであることが分かります。

この直線とX,Y軸が作る直角二等辺三角形の面積がk^2/2であることはすぐにわかります。

ここでもう一度三角形OPQを見てみましょう。
直角二等辺三角形と高さを共有していますね。

つまりAB:PQ=三角形AOBの面積:三角形POQの面積になります。
なので、AB:PQ=k^2/2:k=1:2/k になればいいということです。

明治大付属明治高校入試問題

AB:PQを求めるために、まず
AP:PBなどの使える情報を集めましょう。

AP:PBを求める方法は色々あると思います。

ここでは一例として、Pを通るOBに平行な
線を引いてみましょう。

y軸との交点をCとすると、
ACP∽AOBより、ACPは直角二等辺三角形
ゆえにAC=CP、AP:PB=AC:CO

AC:CO=CP:CO=3:7

よってAP:PB=3:7
同様に、AQ:QB=7:3

これより、AB:PQ=10:4=1:2/5

2/k=2/5になればいいので、k=5

どうでしょう、AB:PQを求めればいいということに気が付きさえすれば、それを求めること自体は中学受験レベルでさほど難しくはなかったと思います。

このように解けば結構あっさり解ける問題ですが、式で計算して解こうとすると結構
辛かったりするのでよかったらやってみてその差を実感してみてください(笑)

まとめ
○○が□(面積)になるときの△を求めよ、といった問題の場合で□に未知数が
含まれている場合、それの比較対象を用意する

求めたいものから、どのような条件が分かれば求められるかを逆算してアプローチを
試みてみる

面倒くさい計算はなるべく避ける!少し考えれば案外簡単に解ける方法もあるかも?

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