長野県高校入試問題2015年長野県高校入試問題


解答解説

今回は正解率0%という噂の問題です!
円と長さや角度に関する問題ですね。
円と角度が出てくる問題では

①円周角の定理、②直径を一辺とする内接三角形は直径を含まない角は直角

この二つのどちらか、若しくは両方をほぼ確実に用います。

これを前提にしてこの問題に挑んでみましょう。

まず、今回の問題は長さの条件が二つと少なめですね。
この二つをもとに考えようとすると、この二辺を含む三角形ACDに着目できます

ACは直径ACを含んでいるため、∠ADC=90度がわかります。
AC=10、CD=6、と三平方の定理よりAD=8が分かります。

円と角度の問題では円周角の定理により、同じ角度が多く出てきます。
それにより、相似な形が多く出てきます。

今回も三角形ACDと相似な形を見つけられたら嬉しいですね。
なのでACDのどれかの角と同じ大きさの角を探してみましょう。

いくつかありますが、最も使えそうなものは∠ACD=∠ABDです。
それがわかると∠ABH=90度も含めて考えると、
三角形ACDと三角形ABHが相似形であることに気づけます。

これにより、∠BAH=∠CADが分かります。

∠EAH=∠DAHよりでもあるので
長野県高校入試問題角の二等分線の定理よりAB:AH=BE:EHです
BE:EH=AB:AH=AC:AD=10:8=5:4

円周角の定理より三角形BECとAEDは相似です。

角の二等分線が垂線になっているので三角形AEDは二等辺三角形でAE=ADがわかります。

それと三角形BECとAEDが相似のことよりBC=BEがわかります。

先ほどと同様に角ABC=90度なので三角形ABCに三平方の定理が成り立ちます。

BC×(9/5)×(5/3)=BE×(9/5)×(5/3)=BH×(5/3)=AB

よってBC×3=AB           BC:AB=1:3

BC=a とすると

BC^2 + AB^2 = AC^2 
a^2 + (3a)^2 = 100   10a^2=100
よってa=√10

今回の問題のポイントは…
円に関する問題は円周角の定理や直径と直角から相似を探す
与えられた情報から、どこを起点に考えればいいか考える
どことどこが相似になりそうか、なったらいいかを考え、角度を出して見る

また最後に三角形BECとAEDの相似を使いましたが、このような発想をしなくても
そのまま三角形AHDの三平方で計算することでもでます。

つまり、三角形ACDとABHの相似が最も重要なポイントだったのです。