桐光学園高校入試問題(桐光学園 高校入試第一回より)


解答解説

数直線と確率の問題です。
サイコロを振り奇数の目が出る確率は1/2、偶数が出る確率も同様に1/2であることから、
半分ずつの確率で数直線上を+若しくはー1動くということです。

つまり、偶数の目がでた回数をm、奇数の目がでた回数をnとすると、
最終的に、点Pはm-nの位置にいることになります。

このように、媒体(今回の場合サイコロ)を含む確率の問題の場合
文字に直すとわかりやすくなります

(1) サイコロを2回投げた時、点Pが原点にいる確率
これはm=n=1ということになりますね (m+n=2、m-n=0より)

並べ方は2÷1=2
よって確率は(1/2)^2*2=1/2

(2) サイコロを4回投げた時、点Pが原点にいる確率
m=n=2
上と同様に、
並べ方は4×3÷2=6(通り)
よって確率は(1/2)^4*6=3/8

(3) サイコロを8回投げた時、点Pが初めて原点に戻る確率

前の二つに比べて問題文の長さが違うのに気づきませんか?
そうです、今回は“初めて”という条件が加わっています。

なので、上二つと同様に解くことはできません

ここでどのようにして解を求めるかを悩むことになります。
原点に戻る確率から初めてでない確率を引く…などといった方法もあると思いますが
今回は8回という数字です。一桁という小ささであり、例え全通り出してもたかが256通り、
その上m=n=4ということまで定まっているので、
安直に考えても答えが出る、なおかつ早い事もあります。
小さな組合せ数の場合、検証してみるのも手です

まず+側も-側も対照性があるので
一回目が偶数の時の確率の二倍が全体の確率になります。

最初をmとすると次もmであることが分かります。 (nだと原点に戻ってしまうため)
また最後も必ずn、nであることもわかります(上と同様)
つまり、間の4っ(m=n=2)の決め方次第と分かります。
全体の組み合わせは(2)より6通りとわかり、
その内原点を通ってしまうのはnnmmのみです(最初にmmと進んでいる状態なので)
これより、当てはまるのは5通り、つまり全体は*2で10通り。

求める確率は10/256=5/128


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2015年長野県高校入試問題です。