灘中2016年2日目の難問となります。

中学受験 入試問題 灘中学

(灘中2016 二日目より)

 


解答解説

このような問題の場合、123456789という大きい数字ではあるが、
大きすぎるわけではない、調べることができる範囲、
というのがポイントです。

具体的なものが調べられる範囲であるときは試してみる
というのは鉄則です。 それでは実際に試してみましょう。
例えば、3と7を入れ替えると
127456389 ができます。
4と6を入れ替えると
123654789 ができます。
試しに、引いてみます。
ただし、普通に引いては引きずらいのでこういう時は筆算しましょう。

中学受験 入試問題 灘中学

こうして筆算にして見ると、7個の数字が一致しているのが分かります。
このように、問題文の操作の内容に従って試しに計算してみる時は、
即座に計算を実行するのではなく、その特徴を考えることが最重要です。

操作に伴う計算の”クセ”を見つけることはこのような問題を解く際に最大の鍵になります。

この場合で言えば入れ替えた二つ以外の7個の数字が
一致しているということです。
ということは、この7個の数字を最初に引く、
ということが思いつきます。 例えば、

中学受験 入試問題 灘中学

数字がある桁はそろっているのでこの二つの桁を分けて考えましょう。
このように分解してそれぞれ考えるというのは大事です。

7000300-3000700=(7000000-3000000)+(300-700)=4000000-400

123654789-123456789=200000-2000
この二つを見比べると、どちらも一番最初の数字がそろっている
のが分かります。 このような特徴に気づくために二つ以上の具体例を考えます。 

分配法則を用いてこれをまとめると、
4000000-400=4*(1000000-100)=4*999900   3と7の入れ替え
200000-2000=2*(100000-1000)=2*99000   4と6の入れ替え ・・・①

この9の並ぶ長さと桁が二つの例で違っていますね。
これは何に関係しているものなのかを逆から追ってみましょう。
このように、具体例の間に違いが生まれたら、その原因を考えてみましょう。

まず9の並ぶ長さは、入れ替えた数の差になっています。 ・・・➁
7-3=4 緑は9が4つ並ぶ
6-4=2 緑は9が2つ並ぶ
そして桁については、
紫は0が(9-3)個並び(小を引く)、茶は0が(9-7)個並びます(大を引く)
紫は0が(9-4)個並び、茶は0が(9-6)個並びます

また、緑の後ろの0の数は、選んだ大きい方の数から9までの桁数(9-7, 9-6)
と同じになっています。 ・・・③

さて、情報をこの程度整理しきったので問題に移りましょう。
いきづまったら問題文にヒントを求めるのも重要ですが、
まずは問題の情報を整理することも大切です。

(1)は1000で割り切れる数は何個か、といったものです。

1000で割り切れる→末尾3個以上が0
9-3=6より、 選ぶ数字が二つとも6以下の数なら、下3桁が0になります。 (③より)

つまり、1~6の中から二つを選ぶということです。
6*5/2=15(個)

(2) 37という数字がでてきました。

37というのは算数ではとても大事な数字なので元々知っておくのも重要ですが、 このような少し大きめな知らない数字がでてきたらとりあえず倍数、約数を考えましょう。

37、74、111… この111というのは特徴的な数字ですね。
つまり、111の倍数であれば37の倍数なのです。
36個の整数は○*9…90…0 と
表せます。 ・・・①より。○は選んだ2つの数字の差。

○に当てはまるのは1~8の数字なので、37の倍数になることはありません。
9…90…0はさらに9…9*10…0と分解できます。

10…0が37の倍数になることはありません。(これはなんとなくわかりますが、                   10…0=2*5*2*5…  ということからわかります。)

つまり、9…9が37の倍数になる場合だけが残ります。
ここで、37*3=111というのを用います。

9…9=37*○

を111というわかりやすい数字に変形することを考えます。

9…9は3の倍数で、37は3の倍数でないので、○は3の倍数です。
○=△×3とすると、 (△も整数)
9…9=111×△となります。

これから、この式が成り立つのは
999=111*9 9が3個並ぶ場合
999999=111*9009 9が6個並ぶ場合        の2つ

つまり、入れ替える二つの数字の差が3,6の時、ということです。

3の時→(1,4)~(6,9) の6つ
6の時→(1,7)~(3,9) の3つ      合計9個

(3)3で何回割り切れるかを考える問題です。

3の倍数にかかわる問題はほぼ必ず、
“各位の数の和が3の倍数”という3の倍数の判定法を用います

○×9…90…0という数を、○と9…90…0のそれぞれに分解してから考えれば、3の倍数がいくつ含まれているかが考えやすいです。

分解して考えるというのは、例えば999が3で何回割り切れるかを考えるとき、
999=9×111 、、、9=3×3 (2回) 111=3×37 (1回)
なので、999はその和の3回割り切れる、といった具合です。

何とかの倍数、何とかで何回わりきれる、…といった問題では、
必ず、対象となる数字を分解して考えましょう!

まずは○の方から。
○は1~8までの数字でこの内、3の倍数なのは3,6だけで、またその数は(2)より9個とわかります。

次に9…90…0の方。
まず、これを9…9×10…0と分けます。
10…0=2×5×2×5… より、3の倍数になることはありません。

次に、9…9を考えます。
なるべく因数分解するのが鉄則なので、この場合も
例にもれず 9*1…1と分解しましょう。
この9は36個の整数に共通なので、この9=3*3が
36*2=72個の”3″を作ります。

次に1…1を考えます。
ここで3の倍数の判定法を用います。
1…1において、1の数は最大8個なので
1…1が3の倍数になるのはその各桁の数字の和が3の倍数、つまり3か6の時です。
よってこのようになる数も、(2)同様9個です。

よって、9+72+9=90回。

まとめ
・大問に挑む際はまず解く前に条件を整理する。

・特徴的な少し大きめな数字が出てきたら、その数字の倍数や約数を考え
その特徴を推察する。

・大きな数に関する約数や素因数を聞かれたら、その大きな数を出来る限り分解し
考えやすくする。


次週問題

2016年 雙葉中学校の問題です

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