平成28年 西大和高校の問題です。

高校受験 西大和高校入試問題

 


解答解説 
 円と角度に関する問題です。

円と角度の問題→円周角の定理を用いる!
このシナリオは99%成り立つものです。
そして、今回の場合も成り立つものとなっています。

中心への角は円周角の2倍になっている。

高校受験 西大和高校入試問題

まず、この図のまま角度を求めようとしてみます。
∠ARBを求める、△ARPと△BRQが相似だったりしないか…
などのアプローチが考えられますが、Rという点の条件が定まり切っていないため
解けないことが分かります。

現時点での図形で解けないものは補助線を引くのが一般的です。

(補助線を引く)+(Rの条件を定めたい)  ここから導けることは…
Rを通る補助線を引く、ということです。

また、補助線を引く際はなるべく元の条件への関連性が高い線を引く
というのがセオリーです。

それらのことを総合して考えればBR,ARを延長する、というものがおのずと考えられます。

試しにARを延長してみます。
綺麗に線を引いてみると等分した点に当たりそうなことが分かります。
このようなことにも気づけるので、綺麗に図を書くというのは大切なことです。
図が見やすくなるだけでなく、大切なこの気づける場合があります。

しかしこの時点では本当に当たるのかもわかりません。ここで
ARの延長線と円周との交点をSとします。

高校受験 西大和高校入試問題

PQは円の直径であり、 ∠BRQ=∠ARP=∠SRQ より線AR以外はPQを軸にして
線対照になっています。
これより、△BRQ≡△SRQが分かります。
よって、QB=QSより、Sは等分された点の一つと分かります。

∠ARP=∠AQP+∠QAS AP:QS:円周=2:1:10
円周角の定理より、 ∠ARP:円周=3:10

円の中心に弧から線を引くと360度に集まります。
中心への角は円周角の2倍になっている。

これより、円周角の和は180度になることが分かる。

よって 180×(3/10)=54
答. 54度


まとめ.
円と角度の問題は円周角の定理を使うことが多い
円周を1とした時、長さaの弧の円周角の角度は180a
現時点での図形で問題が答えきれない場合は、
条件が定まりきっていない点を考え、
それを通り周りとの関連度も高い補助線を引くようにする。


次週問題

2016年 桐光学園の問題になります 

高校受験 桐光学園高校入試問題